Mathematik Sek 2 — Analysis

Die Karten

Die ersten 30 von 118 Karten. Der Rest steht in der App.

1. Was ist eine (Zahlen-)Folge?

   Eine Funktion mit Definitionsbereich ℕ, die jedem n ein Glied aₙ zuordnet.

2. Wann heißt eine Folge konvergent?

   Wenn sie einen endlichen Grenzwert besitzt.

3. Was ist eine Nullfolge?

   Eine Folge mit Grenzwert 0, z. B. aₙ = 1/n.

4. Unterschied zwischen bestimmter und unbestimmter Divergenz?

   Bestimmt: aₙ → +∞ oder −∞. Unbestimmt: kein Grenzwert und kein ±∞, z. B. aₙ = (−1)ⁿ.

5. Eine Folge heißt …, wenn sie einen endlichen Grenzwert besitzt, sonst ….

   konvergent · divergent

6. Monotoniekriterium: Eine … und … Folge ist konvergent.

   beschränkte · monotone

7. Wogegen konvergiert die Folge aₙ = (1 + 1/n)ⁿ?

   Gegen die Euler-Zahl e ≈ 2,71828.

8. Konvergenzverhalten der geometrischen Folge qⁿ?

   Konvergiert gegen 0 für |q| < 1, divergiert für |q| > 1.

9. Grenzwertsatz für Summen: lim(aₙ + bₙ) = ….

   lim aₙ + lim bₙ

10. Grenzwertsatz für Quotienten: lim(aₙ / bₙ) = …, sofern ….

    lim aₙ / lim bₙ · lim bₙ ≠ 0

11. Was bedeutet aₙ → a anschaulich?

    Jede ε-Umgebung von a enthält fast alle (alle bis auf endlich viele) Folgenglieder.

12. Grenzwert von 1/n für n → ∞?

    0.

13. Ist die Folge aₙ = (−1)ⁿ konvergent?

    Nein, sie ist unbestimmt divergent (pendelt zwischen −1 und 1).

14. Eine Folge mit Grenzwert … heißt Nullfolge.

    0

15. Was bedeutet lim(x→x₀) f(x) = g?

    f(x) kommt g beliebig nahe, sobald x nahe genug bei x₀ liegt (x ≠ x₀).

16. Wann existiert der Grenzwert von f an x₀?

    Wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren und übereinstimmen.

17. Der Grenzwert an x₀ existiert genau dann, wenn … und … Grenzwert gleich sind.

    linksseitiger · rechtsseitiger

18. Definition: f ist stetig an der Stelle x₀.

    lim(x→x₀) f(x) = f(x₀).

19. f ist stetig an x₀, wenn lim(x→x₀) f(x) = ….

    f(x₀)

20. Anschauliche Bedeutung von Stetigkeit?

    Der Graph hat keine Sprünge und ist in einem Zug zeichenbar.

21. Was ist eine Definitionslücke?

    Eine Stelle, an der f nicht definiert ist (z. B. Nenner = 0).

22. Unterschied zwischen hebbarer Lücke und Polstelle?

    Bei der hebbaren Lücke existiert der Grenzwert; an der Polstelle geht f(x) → ±∞.

23. Was ist eine senkrechte Asymptote?

    Eine Gerade x = x₀ an einer Polstelle, an der f(x) → ±∞ geht.

24. Was ist eine waagrechte Asymptote?

    Eine Gerade y = c mit lim(x→±∞) f(x) = c.

25. Waagrechte Asymptote y = c bedeutet ….

    lim(x→±∞) f(x) = c

26. Was besagt der Zwischenwertsatz?

    Ist f auf [a,b] stetig und liegt y zwischen f(a) und f(b), so gibt es ein x ∈ [a,b] mit f(x) = y.

27. Zwischenwertsatz: Eine auf [a,b] … Funktion nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an.

    stetige

28. Nenne drei überall stetige Funktionstypen.

    Polynome, Sinus/Kosinus, Exponentialfunktion eˣ.

29. Wo ist eine gebrochenrationale Funktion stetig?

    Überall außer an ihren Polstellen (Nullstellen des Nenners).

30. Was gilt an einer Polstelle einer gebrochenrationalen Funktion?

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