Mathematik Sek 2 — Funktionen

Die Karten

Die ersten 30 von 116 Karten. Der Rest steht in der App.

1. Was ist eine Funktion (formale Definition)?

   Eine Funktion f: D → W ist eine Zuordnung, die jedem Element x aus dem Definitionsbereich D genau ein Element y = f(x) aus dem Wertebereich W zuordnet.

2. Was versteht man unter dem Definitionsbereich D einer Funktion?

   Der Definitionsbereich D ist die Menge aller x-Werte, für die die Funktion definiert ist (also für die f(x) einen sinnvollen Wert annimmt).

3. Was ist der Wertebereich W einer Funktion?

   Der Wertebereich W (auch Bildmenge) ist die Menge aller y-Werte, die die Funktion tatsächlich annimmt: W = { f(x) | x ∈ D }.

4. Was ist der Unterschied zwischen Definitionsbereich und Wertebereich?

   Der Definitionsbereich enthält die Eingabewerte (x), der Wertebereich die zugehörigen Ausgabewerte (y = f(x)).

5. Was ist eine Funktionsgleichung?

   Eine Funktionsgleichung beschreibt die Rechenvorschrift der Funktion, z. B. f(x) = 2x + 3. Sie legt fest, wie jeder x-Wert auf einen y-Wert abgebildet wird.

6. Was ist der Graph einer Funktion?

   Der Graph von f ist die Menge aller Punkte (x | f(x)) in der Koordinatenebene, also die Menge { (x, y) | x ∈ D, y = f(x) }.

7. Eine Zuordnung ist genau dann eine Funktion, wenn jedem x-Wert … y-Wert zugeordnet wird (Eindeutigkeit).

   genau ein

8. Was besagt der senkrechte Linientest (Vertikaltests)?

   Schneidet jede senkrechte Gerade den Graphen in höchstens einem Punkt, so ist der Graph der Graph einer Funktion.

9. Welche der folgenden Zuordnungen ist KEINE Funktion?

10. Was ist eine Nullstelle einer Funktion?

    Eine Nullstelle ist ein x-Wert x₀ mit f(x₀) = 0, d. h. der Punkt, an dem der Graph die x-Achse schneidet oder berührt.

11. Wie lautet die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion?

    f(x) = m · x + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist.

12. Was gibt die Steigung m einer linearen Funktion an?

    Die Steigung m beschreibt, um wie viel sich y ändert, wenn x um 1 zunimmt: m = Δy / Δx.

13. Bei der linearen Funktion f(x) = mx + b ist m die … und b der ….

    Steigung · y-Achsenabschnitt

14. Wie berechnet man die Steigung m aus zwei Punkten P₁(x₁ | y₁) und P₂(x₂ | y₂)?

    m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Man teilt die Differenz der y-Werte durch die Differenz der x-Werte.

15. Wie berechnet man die Nullstelle einer linearen Funktion f(x) = mx + b?

    Man setzt f(x) = 0 und löst nach x auf: 0 = mx + b → x = −b / m (für m ≠ 0).

16. Was bedeutet eine positive Steigung bei einer Geraden?

    Die Gerade steigt von links nach rechts an (die Funktion ist streng monoton wachsend).

17. Was bedeutet eine negative Steigung bei einer Geraden?

    Die Gerade fällt von links nach rechts (die Funktion ist streng monoton fallend).

18. Was ist der y-Achsenabschnitt b einer linearen Funktion geometrisch?

    b ist der y-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse, also der Funktionswert an der Stelle x = 0.

19. Welche Gerade hat die Steigung 3 und schneidet die y-Achse bei −2?

20. Wie stellt man die Gleichung einer Geraden auf, wenn Steigung m und ein Punkt P(x₀ | y₀) bekannt sind?

    Man nutzt die Punkt-Steigungs-Form: y − y₀ = m · (x − x₀), und formt nach y um.

21. Was ist eine Normalparabel?

    Die Normalparabel ist der Graph von f(x) = x². Sie hat den Scheitelpunkt im Ursprung (0 | 0), öffnet nach oben und ist symmetrisch zur y-Achse.

22. Wie lautet die Normalform (allgemeine Form) einer quadratischen Funktion?

    f(x) = ax² + bx + c, mit a ≠ 0. Der Koeffizient a bestimmt die Öffnungsrichtung und Streckung der Parabel.

23. Wie lautet die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion?

    f(x) = a(x − d)² + e, wobei S(d | e) der Scheitelpunkt ist und a die Streckung/Stauchung beschreibt.

24. In der Scheitelpunktform f(x) = a(x − d)² + e ist der Scheitelpunkt der Parabel S(… | …).

    d · e

25. Was bewirkt der Koeffizient a in f(x) = ax²?

    Für |a| > 1 wird die Parabel gestaucht (schmaler), für 0 < |a| < 1 gestreckt (breiter). Für a < 0 öffnet sie nach unten, für a > 0 nach oben.

26. Die pq-Formel zur Berechnung der Nullstellen von x² + px + q = 0 lautet x = ….

    −p/2 ± √((p/2)² − q)

27. Was ist die Diskriminante Δ bei der pq-Formel und was sagt sie aus?

    Δ = (p/2)² − q. Ist Δ > 0: zwei reelle Nullstellen. Ist Δ = 0: genau eine Nullstelle (Doppelnullstelle). Ist Δ < 0: keine reellen Nullstellen.

28. Wie viele reelle Nullstellen hat f(x) = x² + 2x + 5?

29. Wie berechnet man den Scheitelpunkt aus der Normalform f(x) = ax² + bx + c?

    d = −b / (2a) und e = f(d) = c − b² / (4a). Oder: quadratische Ergänzung anwenden.

30. Was ist eine Potenzfunktion?

    Eine Potenzfunktion hat die Form f(x) = xⁿ mit n ∈ ℝ. Zum Beispiel f(x) = x³ oder f(x) = x⁻¹.

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